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[主观题]

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ₁，λ₂，···，λ_t是σ的全部本

征值。证明，存在V的线性变换σ₁，σ₂，···，σ_t，使得

设σ是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换。令λ1，λ2，···，λt是σ的全部本征值。

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第1题

设f是数域F上有限维向量空间V的一个非退化内积，φ：V→F是V上一个线性函数。证明存在唯一的向量α∈V，使得对于任意β∈V来说，都有φ(B)=f(α，β)。

设f是数域F上有限维向量空间V的一个非退化内积，φ：V→F是V上一个线性函数。证明存在唯一的向量α∈V，使得对于任意β∈V来说，都有φ（B)=f（α，β)。

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第2题

设f是数域F上有限维向量空间V上一个大退化内积。g：VxV→F是F上另一个内积，证明存在V的唯一的线性变换σ，使得对于一切α，β∈V，都有g（α，β)=f（σ（α)，β)。证明：g是非退化的当且仅当σ是非奇异线性变换。

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第3题

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1)在P[x]中有一次数≤n²的多项式f(x)，使设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f（x)，使2

2)如果设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f（x)，使2 ，那么这里d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式;

3) 设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：1)在P[x]中有一次数≤n2的多项式f（x)，使2 可逆的充分必要条件是，有一常数项不为零的多项式f(x)使

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第4题

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第5题

设A，B为数域P上的m×n与n×s矩阵，又W={Bα|ABα=0,α为P的s维列向量，即α∈P^s×1是n维列向量空间P^n×1的子空间，证明:dimW=r（B)-r（AB)。

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第6题

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第7题

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第8题

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第9题

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(i)求出σ的最小多项式p(x)，并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p₁(x)与p₂(x)的乘积;

(ii)令W_i={ξ∈V|p_i(σ)ξ=0}，i=1，2。证明，W_i是σ的不变子空间，并且V=W₁⊕W₂;

(iii)在每一子空间W_i中选取一个基，凑成V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。

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第10题

设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，且σ²=σ。证明存在V的一个规范正交基，使得σ关于这个基的

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